Каталог@Mail.ru - каталог ресурсов интернет HitMeter - счетчик посетителей сайта, бесплатная статистика

Распределение Бернулли. Биномиальное распределение

На главную Математический раздел Криптография и т.д. Новости

Родственные статьи: Нормальное распределение, Мат. ожидание и его свойства

Распределение Бернулли

Распределение Бернулли - дискретное распределение, при котором случайная величина может принимать всего два значения - "успех" и "неуспех" с вероятностями p и q соответственно (очевидно, p+q=1). Вероятность успеха и неуспеха не зависит от того, который раз мы повторяем эксперимент. Так, даже если мы 10 раз кинули обычную монету (центр тяжести не смещён, прочих махинаций тоже нет) и при этом выпал орёл, вероятность выпадения орла в 11-ый раз всё равно будет 0,5. Другое дело, что экспериментатор при такой ситуации может начать думать, что монета, возможно, "с подвохом".

Если величина X подчинена распределению Бернулли, то математическое ожидание M[X] = p, дисперсия D[X] = pq. Если представить дисперсию как pq = p(1-p) = p-p*p и вспомнить свойства параболы, получим, что дисперсия случайной величины при распределении Бернулли не может превышать 0,25, она максимальна при p=0,5. Чем ближе p к нулю или единице, тем ниже дисперсия случайной величины при распределении Бернулли.

Если выполняется n итераций по получению случайной величины при распределении Бернулли, математическое ожидание количества успехов составляет np. Скажем, если в ходе эксперимента кидаем нормальную монету 100 раз, в среднем в таких экспериментах орёл будет выпадать по 50 раз на эксперимент. Если сделать грубое предположение, что для стрельбы распределение Бернулли - корректная модель, а рядовой Сидоров попадает в противника с вероятностью 0,2, то в среднем 24 патрона из 30-патронного магазина не достигнут цели.

Распределение Бернулли является частным случаем биномиального распределения.

Биномиальное распределение, его связь с распределением Бернулли и нормальным распределением

Пусть проводится серия из n независимых экспериментов, причём вероятность "успеха" в каждом из них равна p, а вероятность неуспеха соответственно 1-p=q, независимо от результатов предыдущих экспериментов. Распределение количества успехов в такой серии описывается биномиальным распределением.

Почему данное распределение названо биномиальным распределением? Давайте разбираться. Пусть нужно определить, какова вероятность того, что получим именно k успехов (не больше и не меньше). Вероятность того, что некие k экспериментов окончатся успехом, равна . Остальные n-k экспериментов должны окончиться неуспехом, вероятность этого равна . Но тупо перемножать эти две степени нельзя. Скажем, пусть n = 2, k = 1. "Неуспешен единственный эксперимент - первый" и "неуспешен единственный эксперимент - второй" - это разные события. Существует разных событий вида "k экспериментов успешны, остальные - провальны". В итоге вероятность того, что ровно k событий будут успешны, составляет

Абалдеть! Да это же коэффициенты разложения бинома Ньютона. Потому и биномиальное распределение.

Кстати, легко заметить: если p=q=0,5, то вероятность того, что будет ровно k успехов, совпадает с вероятностью того, что будет ровно n-k успехов.

И ещё заметим: при n=1 биномиальное распределение вырождается в распределение Бернулли.

Математическое ожидание для биномиального распределения: np; дисперсия: npq. Кстати, подставьте n=1 и посмотрите на формулы математического ожидания и дисперсии для распределения Бернулли, написанные выше.

Ещё одно примечательное свойство: если n большое, то биномиальное распределение становится близким к нормальному распределению с математическим ожиданием np и дисперсией npq.

На рисунке ниже показано распределение при n=9, p=0,5. Как видим, если через полученные точки провести сплайновую кривую, получим что-то очень похожее на "колокол" графика плотности вероятностей нормального распределения. И это мы взяли даже не очень большое n.

Наконец, последний вопрос, который нас здесь интересует: какова вероятность того, что хотя бы k из n экспериментов будут успешными при биномиальном распределении? Если успешны хотя бы k экспериментов, это означает, что успешны k экспериментов либо k+1 эксперимент либо ... либо n экспериментов. При этом невозможно одновременно, чтобы успешными оказались ровно l и ровно m экспериментов (за исключением случая l=m). Таким образом, получаем, что вероятность составляет:

copyright © Исканцев Н.В., 2012

К математическому разделу
На главную
X