Каталог@Mail.ru - каталог ресурсов интернет HitMeter - счетчик посетителей сайта, бесплатная статистика

Что такое числа Фибоначчи и золотое сечение и с чем их едят

На главную Математический раздел Криптография и т.д. Новости

Определение и историческое появление чисел Фибоначчи

Числа Фибоначчи - члены ряда, который описывается следующим образом:

Как видим, числа Фибоначчи определяются по рекуррентному соотношению. Для примера приведём первые 10 членов ряда: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55.

Ряд чисел Фибоначчи позник исторически из следующей задачи. В некий загон, из которого нельзя удрать, посадили пару кроликов. В первый месяц кролики не плодятся. Каждый месяц, считая с конца второго, одна пара кроликов производит на свет ещё одну пару. Сколько пар кроликов будет через год (ну или через n месяцев)? Для простоты убираем тот момент, что кролики не вечны.

Эту задачу изложил в 13 веке математик из Пизы, известный как Фибоначчи. При чём тут эта долбаная формула для чисел Фибоначчи? Ну смотрите. В первом месяце у нас одна пара кроликов (обзовём её X). Во втором сначала одна, под конец произвели ещё одну - пару Y. К началу третьего месяца у нас две пары. Пока что 1, 1, 2 - количество пар в 1-ом, 2-ом, 3-ем месяцах соответственно. К концу третьего месяца пара X "производительна" и "выпускает" ещё одну пару - Z. Пара Y ещё не достигла срока, когда она "повзрослеет", и пока что является "бесполезной". К началу 4 месяца у нас 3 пары. К концу 4 месяца может давать плоды не только пара X, но и пара Y. В итоге появляются ещё 2 пары. В итоге 1, 1, 2, 3, 5... Теперь ясно?

Примечательное свойство чисел Фибоначчи. Золотое сечение

По мере роста чисел Фибоначчи отношение каждого из них к предыдущему становится близким к так называемому золотому сечению:

Золотое сечение - только что полученный коэффициент пропорциональности. Давайте немного прикинем. 2/1 = 2 - пока ещё далеко от 1,618. 3/2 = 1,5 - тоже далеко, но ближе, чем было. 5/3 - примерно 1,67 - теперь совпало с точностью до десятых... 55/34 - примерно 1,676 - как видим, совсем близко.

Геометрически золотое сечение возникает вот в какой задаче. Есть некий отрезок AB. Надобно поставить точку C внутри отрезка так, чтобы отношение меньшей части отрезка к большей совпало с отношением большей части к длине всего отрезка.

А теперь обратите внимание на рисунок чуть ниже и на выше приведённый вывод золотого сечения в числах Фибоначчи. Получается одно и то же, не так ли?

Считается, что золотое сечение даёт наиболее благоприятные пропорции в архитектуре, живописи. В смысле больше всего радует глаз. Некоторые мыслители и вовсе увязывают с золотым сечением едва ли не основы мироздания.

Ещё одно свойство чисел Фибоначчи

Завершим болтовню о золотом сечении, снова вернёмся к числам Фибоначчи. Приведём ещё одну примечательную формулу:

Пытаться доказать это, преобразуя сумму, не будем, есть метод попроще. Вооружимся математической индукцией.

При n = 1 всё нормально. Далее, полагая, что формула верна при n, доказываем, что она будет верна и при n+1. Вот, собственно, и всё.

copyright © Исканцев Н.В., 2012

К математическому разделу
На главную
X