Каталог@Mail.ru - каталог ресурсов интернет HitMeter - счетчик посетителей сайта, бесплатная статистика

Геометрическое определение вероятности

На главную Математический раздел Криптография и т.д. Новости

Геометрическое определение вероятности в случае двух случайных величин

Пусть есть две случайные величины x, y. Разумеется, неизвестно, каковы будут их значения при конкретном эксперименте (события), но известно, в каком множестве они лежат, а также считается, что распределение равномерное. Это множество представлено как фигура на плоскости (например, овал площадью S2 на рисунке чуть ниже).

Некоторые из пар (x, y) для нас создают успешный исход, множество таких пар также представлено на плоскости как фигура (многоугольник площадью S1 на рисунке ниже). Отношение площади этой фигуры к площади фигуры, представляющий все возможные значения x и y, суть геометрическое определение вероятности.

Приведём некоторые примеры геометрического определения вероятности.

Пример 1. В эксперименте генератор выдаёт два случайных числа из диапазона [0; 1], распределение равномерное. Какова вероятность того, что сумма этих двух чисел не превысит 0,5?

Данную задачу затруднительно решить без геометрического определения вероятности. С помощью геометрического определения вероятности она решается элементарно.

"Успех" - когда мы попадаем в красный треугольник, неуспех - в другую часть квадрата 1*1. Теперь ясно, что ответ: 0,125.

Пример 2. Теперь пример посложнее. Мужик должен сесть на поезд на станции X, зная только то, что поезд прибудет между 12.00 и 13.00 и простоит 10 минут. Мужик приходит на станцию к некоторому моменту между 12.00 и 13.00, при этом он решил в случае, если поезда нет, дожидаться не более 30 минут. Какова вероятность того, что не позже, чем в 13.00, горе-путешественник сядет на поезд?

Давайте разбираться) Если мужик подойдёт, когда поезд уже уедет, он не сядет (геометрически, если x - когда мужик подошёл на станцию, y - когда прибыл поезд, то выходит x > y + 10). Другой вариант неуспеха - уйти слишком рано: x + 30 < y.

Итак, снова удачно подходит геометрическое определение вероятности. На рисунке ниже два красных треугольника - области неудачи, полоска между ними соответствует множеству возможных успешных вариантов. Суммарная площадь треугольников: 4,5 + 12,5 = 17 малых квадратов, всевозможные варианты: 36 квадратов. Стало быть, искомая вероятность равна (36-17)/36 = 19/36.

Особый пример применения геометрического определения вероятности

Два примера выше - скорее баловство, которое дают порешать студентам. Теперь самый примечательный пример применения геометрического определения вероятности. Пусть есть некоторая мудрёная фигура, площадь которой нам надо определить, например, какой-нибудь заковыристый многоугольник. Приближённо найти её площадь можно вот как. Рисуем прямоугольник, такой, что наша фигура "помещается" внутри его. Тогда площадь фигуры равна pS, где p - вероятность того, что точка, поставленная наугад внутри прямоугольника, попадёт в нашу хитрую фигуру, S - площадь прямоугольника.

Вероятность p мы не знаем. Поэтому находим её приближённо. Ставим наугад внутри прямоугольника n точек, где n велико (это не 100 и тем более не 10). Пусть m точек попали в заданную фигуру. Тогда вероятность p примерно равна m/n.

Как видим, такое применение геометрического определения вероятности дало универсальный метод приближённого вычисления площади фигур. Нам не важно, какая перед нами фигура: выпуклая или нет, треугольник, звезда или хитрая кривулина, жутко напоминающая змею.

Обобщение геометрического определения вероятности на многомерные случаи

Если у нас три случайные величины, то оперируем с объёмами.

Несколько видоизменим пример 1. Теперь у нас 3 случайных величины - числа из диапазона [0; 1]. Какова вероятность того, что сумма этих трёх чисел не превысит 0,5?

Смотрим на рисунок ниже. Возможные варианты - куб единичного объёма. "Успешные" варианты сосредоточены в небольшой пирамидке объёма (0,125 * 0,5)/3 = 1/48 (пирамидка получается при отсечении части куба плоскостью x + y + z = 0,5). Искомый ответ: 1/48. На первый взгляд этот ответ кажется маловатым, но, как видите, всё обоснованно.

Если больше трёх величин, то теоретически можно оперировать с обобщённым понятием объёма, но практически это неудобно - мы не можем изобразить тела размерности n>3 измерений.

copyright © Исканцев Н.В., 2012

К математическому разделу
На главную
X