Каталог@Mail.ru - каталог ресурсов интернет HitMeter - счетчик посетителей сайта, бесплатная статистика

Многокритериальные задачи принятия решений. Часть 3. Метод главного критерия

На главную Математический раздел Криптография и т.д. Новости

Суть метода главного критерия

Пусть есть n критериев для оценки альтернатив (вариантов, один из которых нам нужно принять в качестве решения). Каждый из критериев может быть оценён количественно (возможно, как физическая величина, возможно, по некой шкале баллов). Критериальные оценки для варианта x имеют следующий вид:

Полагается, что с точки зрения принимающего решения один из критериев - главный - имеет существенно более высокий приоритет, чем все остальные, но с одной важной оговоркой. По остальным критериям вариант тоже не должен быть слишком плох. Пусть главный критерий - первый, критерии от 2-го до n-го второстепенные. Ставится следующая задача: найти вариант x из множества X такой, что

Простой пример. Пусть мы хотим купить товар подешевле, но нам не безразлично его качество. Допустим, качество выражается по 5-бальной шкале. Мы хотим, чтобы оно было не менее, чем 3 балла.

Есть три товара: X, Y и Z:

ВариантЦена, тыс. руб.Качество
X42
Y104
Z83


Шаг 1. Сведём задачу к той, что поставлена выше. Цена - критерий, подлежащий минимизации. Заменим её на критерий "экономия", чтобы получить задачу максимизации (для самого дорогого товара она будет нулевой, для остальных - разность цены самого дорогого товара и рассматриваемого):

ВариантЭкономия, тыс. руб.Качество
X62
Y04
Z23


Шаг 2. Собственно принятие решения. Из-за ограничений по второму критерию (качество) вариант X не подходит. Из двух оставшихся ищем тот, при покупке которого мы больше сэкономим, в данном случае это Z.

Метод главного критерия и оптимальность по Парето

Напомним, что x > y по Парето, если x лучше y по хотя бы одному критерию и не хуже по остальным. Если нету альтернатив, которые превосходили бы x по Парето, x является Парето-оптимальной альтернативой. Более подробно отношение Парето рассмотрено в Части 1 нашей теории по многокритериальным задачам принятия решений.

Если задача (*) имеет единственное решение x, то оно Парето-оптимально. Вариант 1. x превосходит остальных по главному критерию, значит, уже никто не может превосходить x по Парето. Вариант 2. x уступает варианту y по главному критерию. Тогда почему y не выбран решением (*)? Стало быть, y не прошёл по ограничениям для какого-то другого критерия, а x прошёл, то есть x в чём-то лучше y (в примере выше товар X экономичнее Z, но X не прошёл по качеству, в отличие от Z).

Если задача (*) имеет не единственное решение, а некоторое множество M решений, то это множество содержит в себе Парето-оптимальное решение, но также M может содержать решения, не являющиеся Парето-оптимальными.

Глянем на рисунок чуть ниже. ABCD (включая внутренность) - множество вариантов, EC - множество решений по методу главного критерия, но только C - Парето-оптимальный вариант. Таким образом, если по методу главного критерия вышло не единственное решение, нужно выбрать какое-то Парето-оптимальное. Оно обязательно есть, надо только его найти.

Корректировка метода главного критерия

Для корректировки метода главного критерия во избежание недоразумений с неоптимальностью по Парето задачу (*) заменяют на следующую задачу:

Корректировочная величина k должна быть мала, на несколько порядков меньше значений критериев. Тем самым мы как бы немного поворачиваем направление оптимизации. Взгляните на рисунок ниже. Если немного повернуть вверх это самое направление, то оптимальным решением становится единственное C, как это и полагалось.

Проблемы метода главного критерия

1. Не всегда можно выделить ярко выраженный главный критерий, иногда это сделать трудно или вообще нельзя.

2. Ограничения для остальных критериев должны быть обоснованными, а не взяты кое-как.

3. Даже если есть критерий, который гораздо важнее любого другого, то не факт, что в сумме остальные критерии не окажутся весьма значимыми. Особо ярко это может проявляться в задачах, где n велико.

copyright © Исканцев Н.В., 2012

К математическому разделу
На главную
X