Каталог@Mail.ru - каталог ресурсов интернет HitMeter - счетчик посетителей сайта, бесплатная статистика

Немного о численном интегрировании

На главную Математический раздел Криптография и т.д. Новости

Что такое численное интегрирование и зачем оно

Численное интегрирование - процесс нахождения интеграла приближёнными методами, как правило, "заточенными" под ЭВМ.

Численное интегрирование приходится использовать как минимум в следующих случаях: 1) когда нужно автоматизировать решение задачи, в ходе которого требуется находить интегралы (комп не знает матана с его интегрированиями по частям, заменами переменных и тому подобными фишками); 2) когда попадаются "неберущиеся" интегралы.

На всякий пожарный - "неберущиеся" интегралы - это когда найти неопределённый интеграл функции не получается никак, причём не от тупости))) Кто хочет это понять нагляднее, пусть попробует найти вот этот интеграл:

Соответственно поскольку мы не можем выразить первообразную, мы и не можем найти определённый интеграл традиционным образом (про так называемые несобственные интегралы здесь говорить не будем).

Популярный подход к численному интегрированию

Если получено хорошее приближение интегрируемой функции, то и приближённое значение определённого интеграла вроде как должно быть близко к точному. Эту нехитрую мыслю используют в большинстве методов численного интегрирования.

Небольшой примерчик. Пусть, скажем, надо найти злобный интеграл:

Обычными способами мат. анализа не берётся. Сделаем по-другому. Вспомним, что интеграл - это ещё и площадь фигуры:

Разобьём отрезок [0; 1] на 8 частей и заменим долбаную экспоненту кусочно-линейной функцией:

В итоге получили 8 трапеций. Точки на рисунке - "узлы", которые лежат на нашей ненавистной кривой. Теперь суммируем площади этих трапеций и получаем что-то около 1.469712. В Mathcad или другую математическую программу, которая может посчитать интеграл хотя бы до 4-5 цифр после запятой, вбиваем наш интеграл и получаем 1.462652. Итак, промазали меньше, чем на сотую!

Только что был рассмотрен так называемый метод трапеций. Он относится к методам, использующим интерполяцию функций. Разумеется, можно заменять исходную функцию на другие интерполирующие функции - скажем, интерполяционные полиномы, разного рода сплайны и т.д. Подробно о том, что это за функции, есть тута, а здесь не будем говорить лишнее.

Кстати, идею взятия приближённой функции вместо исходной используют и когда считают интегралы с помощью рядов Тейлора.

Пример другого подхода

Разумеется, не только приближение интегрируемой функции можно выполнять численное интегрирование. Как одна из альтернатив - вероятностный подход:

В данном случае используются следующие штуки из теории вероятностей: 1) геометрический смысл вероятности; 2) если проведено много испытаний, то частота некоторого события близка к его реальной вероятности.

copyright © Исканцев Н.В., 2013

К математическому разделу
На главную
X