Каталог@Mail.ru - каталог ресурсов интернет HitMeter - счетчик посетителей сайта, бесплатная статистика

Метод неопределенных коэффициентов

На главную Математический раздел Криптография и т.д. Новости

Что такое метод неопределенных коэффициентов

Метод неопределенных коэффициентов - метод отыскания коэффициентов выражений, функций, вид которых известен. Сами эти коэффициенты и называются неопределёнными коэффициентами. Как правило, при наличии n коэффициентов для их отыскания требуется составить n уравнений (использовать n условий). Данный метод не относится к каким-то отдельным математическим дисциплинам, он универсален. Чтобы понять суть метода неопределённых коэффициентов и его универсальный характер, лучше всего ознакомиться с примерами из этой статьи)))

Примеры применения метода неопределенных коэффициентов

Разложение рациональных дробей на простейшие методом неопределённых коэффициентов

Известно, что существуют правила, по которым можно определить, на какие простейшие дроби разлагается рациональная. Например, вот самый простой случай:

В качестве неопределённых коэффициентов выступают n коэффициентов с символом a.

Рассмотрим на простом примере, как тут работает метод неопределённых коэффициентов и как искать коэффициенты. Скажем, вот таком)))

Дробь слева, очевидно, представима в том виде, который справа. Остаётся найти неопределённые коэффициенты a и b.

С учётом правил сложения дробей получаем, что x = a(x+1) + b(x-1). Удобно использовать условия этого равенства при x = -1 и x = 1. При подстановке x=-1 получаем, что b = 0,5, при x=1 - что a = 0,5. Для проверки: 0,5(x+1) + 0,5(x-1) = 0,5 * 2x = x. Хотя подставленные значения обращают в нуль знаменатель, всё равно номер прокатил)

Это широко известный пример, наверное, кто студент - вспомнит вышку и матан в частности))) А теперь пример немного другой)))

Метод неопределённых коэффициентов для суммы степеней первых n натуральных чисел

Формула суммы первых n натуральных чисел (степень = 1) широко известна и мгновенно выводится, если вспомнить, что такое арифметическая прогрессия. С суммой квадратов первых n натуральных чисел посложнее, с кубами - тем более. Тупо вызубривать формулы на все случаи жизни действительно тупо, поэтому покажем, как тут применить метод неопределённых коэффициентов.

Для нашей задачи верно следующее:

Итак, для степени m будет m+1 неопределённых коэффициентов. Рассмотрим случай суммы квадратов. Нужно 3 условия, чтобы определить коэффициенты полинома . Вот они: A + B + C = 1; 2A + 4B + 8C = 1 + 4 = 5; 3A + 9B + 27C = 1 + 4 + 9 = 14. Решая полученную систему уравнений, получим A = 1/6, B = 1/2, C = 1/3, то есть вот какую хрень:

Существует альтернативный способ решения этой же задачи - на основе основе такого понятия, как сочетания - из сферы комбинаторики. Но он хорош лишь при m = 2 или 3, дальше он явно уступает по быстроте применения методу неопределённых коэффициентов.

Метод неопределённых коэффициентов для интерполяции

Интерполяция полиномом в форме Ньютона. Пусть известны значения функции в n+1 узлах, пронумерованных от 0 до n. Тогда интерполяционный полином Ньютона имеет вид

Существуют формулы для его коэффициентов, но куда быстрее найти полином методом неопределённых коэффициентов: при x = x0 находим A0, при x = x1 находим A1 и т.д.

copyright © Исканцев Н.В., 2012

К математическому разделу
На главную
X