Каталог@Mail.ru - каталог ресурсов интернет HitMeter - счетчик посетителей сайта, бесплатная статистика

Что такое необходимые и достаточные условия

На главную Математический раздел Криптография и т.д. Новости

Нередко когда встречаются формулировки теорем, свойств, лемм и тому подобной гадости, во фразах звучит что-то типа "для того, чтобы ... , необходимо и достаточно...", "... необходимым условием [того-то] является [что-то]" и так далее. Разумеется, перед этим обычно не поясняется, что это за "необходимость" и "достаточность". Сразу мысль: а что эта за ерунда такая написана? Прочитав данную статью, вы устраните прокол в сиём вопросе, если он у вас был.

Необходимые условия

Условие A необходимо для B, если при невыполнении A гарантированно не выполняется B.

Допустим, необходимым условием того, чтобы Вася встречался с некоторой девушкой, является хорошая внешность этой самой девушки. Что это значит? Это значит то, что если девушка внешне "не очень" (ну мало ли - слишком толстая, взвод здоровых прыщей на лице...), то Вася её забракует. Заметим, что если она хорошенькая, то ещё не ясно, как поступит Вася, нужно узнать побольше. Вдруг она очень жуткая стерва?

То есть, если необходимое условие A выполняется, это ещё не значит, что B выполняется.

Ещё пример небольшой. Есть такое понятие - простые числа - делящиеся только на 1 и самого себя. Необходимым условием того, чтобы натуральное число от 3 и выше было простым, является нечётность. Это, наверное, легко понять: если такое число чётное, то оно делится как минимум на 1, 2 и самого себя, то есть оно уже не простое. То есть если число чётное и выше 2, оно уже точно не простое. А если нечётное? А это смотря какое число, то есть не факт, что оно простое. Скажем, число 5 - нечётное и выше 2, и оно простое. А вот число 9 не является простым (эта сволочь имеет 3 делителя: 1, 3, 9).

Заметим, что в случае "необходимости" если условие B выполнено, то и A тоже выполнено. Скажем, в примере про Васю, если он начал встречаться с некой девушкой - пусть с Машей, то внешность Маши его устроила.

Достаточные условия

Условие A достаточно для B, если при выполнении A гарантированно выполняется B.

Скажем, равенство нулю младшей цифры числа есть достаточное условие того, чтобы число делилось на 5. Заметим, что если достаточное условие A не выполнено, то это не факт, что не выполнено B. Пусть в нашем примере число оканчивается на 5. Достаточное условие не выполнено, но число всё равно делится на 5.

Если условие B не выполнено, то условие A гарантированно не выполнено.

Необходимые и достаточные условия

Если условие необходимо, то оно может и не быть достаточным (см. про Васю и девушек). Если условие достаточно, то оно может и не быть необходимым (см. про деление числа на 5).

Но бывают счастливые случаи, когда условие A необходимо и достаточно для B. Посмотрев внимательно на определения необходимости и достаточности получаем вот что. Если A выполняется, то и B выполняется, а если A не выполняется, то и B не выполняется. То есть условия А и В становятся эквивалентными.

Допустим, ведётся шахматная партия, без лимита по времени, чтобы было проще привести пример. В таком случае поставить мат сопернику по шахматам - достаточное условие победы. Если мы ничего не знаем о сопернике, условие "поставить мат" не является необходимым для успеха - нельзя же исключать, что оппонент сдастся. Но если оппонент упёрный и никогда не сдаётся, то "поставить ему мат" - необходимое и достаточное условие победы. То есть больше его никак не обыграть.

Необходимое и достаточное условие часто маскируется за оборотом "тогда и только тогда". Скажем, наш пример можно перефразировать так: "наш игрок одержит победу тогда и только тогда, когда он поставит мат". Или ещё пример (подумайте, он простой): "натуральное число делится на 15 тогда и только тогда, когда оно делится одновременно на 3 и на 5".

copyright © Исканцев Н.В., 2013

К математическому разделу
На главную
X