Каталог@Mail.ru - каталог ресурсов интернет HitMeter - счетчик посетителей сайта, бесплатная статистика

Признаки делимости

На главную Математический раздел Криптография и т.д. Новости

Что такое признак делимости

Признак делимости натурального числа n на m - способ быстро определить, делится ли n на m - быстрее, чем при попытке выполнить деление и посмотреть, какой остаток. Обычно признаки делимости используются для ускорения ручных расчётов, значительная их часть плохо приспособлена для программирования.

Признаки делимости на 2, 5, 10, 100, 1000...

Признаки делимости на 2, 5, 10 - самые простые из всех: достаточно лишь посмотреть на последнюю цифру числа. Признак делимости на 2: если число оканчивается на 0, 2, 4, 6 или 8, то число делится на два (то есть последняя цифра должна делиться на 2), иначе не делится. Признак делимости на 5: если последняя цифра числа - 0 или 5, то число делится на 5, иначе не делится. Признак делимости на 10: если число оканчивается на 0, оно делится на 10, иначе не делится. Признак делимости на 100: число должно оканчиваться на 00. Как определить, делится ли число на 1000, 10000 и т.д., тут, видимо, и так ясно.

Признаки делимости на 3, 6, 9, 18

Признак делимости на 3: число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма цифр его делится на 3. Например, 1002 делится на 3 (1002 = 334 * 3; 1 + 2 = 3); 5777 не делится на 3 (5 + 7 + 7 + 7 = 26 = 3 * 8 + 2). Признак делимости на 6: если число одновременно делится на 2 и на 3, то оно делится на 6. Такой признак можно применить исходя из того, что числа 2 и 3 не имеют общих делителей, кроме 1.

Признак делимости на 9: аналогично - если сумма цифр числа делится на 9, то и число делится на 9, иначе не делится. Например, 126 делится на 9 (1 + 2 + 6 = 9; 126 = 14 * 9). Поскольку 9 и 2 имеют в качестве общего делителя только 1, то признак делимости на 18: если число одновременно делится на 2 и 9, то оно делится на 18.

Признаки делимости на 20, 25, 50, 4, 8, 16, 32...

О делимости числа на 20, 25, 50, 4 судят по двум последним цифрам (точнее, двузначному числу, ими образованному). Если проверяемое число оканчивается на 00, 20, 40, 60, 80, то оно делится на 20, если на 00, 25, 50, 75, то оно делится на 25, если на 00 или 50, то оно делится на 50. Если две последние цифры числа n образуют двузначное число, делящееся на 4, то и число n делится на 4. Например, 124 делится на 4, так как 24 делится на 4. 12496 делится на 4, так как 96 делится на 4. А вот 294 и 394 не делятся на 4, так как 94 не делится на 4. Названные в этом абзаце признаки делимости, использующие две последние цифры, опираются на тот факт, что 4, 20, 25, 50 - делители числа 100.

Если три последние цифры числа n образуют трёхзначное число, делящееся на 8, то и число n делится на 8. Например, 1104 делится на 8, поскольку 104 делится на 8. Данный факт имеет место за счёт того, что 8 - делитель числа 1000. Аналогичные правила можно составить для 16 и последних четырёх цифр, 32 и последних пяти цифр, другое дело, что эти признаки не так уж удобны.

Признаки делимости на 7 и 11

Один из признаков делимости на 7: утроенное количество десятков, сложенное с количеством единиц, делится на 7. Например, 231 делится на 7: 23 * 3 + 1 = 70 - делится на 7. 2009 делится на 7: 200 * 3 + 9 = 609; 60 * 3 + 9 = 189; 18 * 3 + 9 = 63 - делится на 7.

Пусть s1 - сумма цифр, занимающих нечётные позиции, s2 - сумма цифр, занимающих чётные позиции. Если |s1-s2| делится на 11, то и число делится на 11. Допустим, возьмём 7421 * 11 = 81631. s1 = 8 + 6 + 1 = 15; s2 = 3 + 1 = 4; |s1 - s2| = 11.

Удобные общие свойства

Если m, k не имеют общих делителей, кроме 1, и число n делится на m и делится на k, то n делится на mk. Примеры - выше приведённые признаки делимости на 6 и 18. Если же наибольший общий делитель m и k выше 1, такой признак использовать нельзя. Например, если число одновременно делится на 4 и 6, то не факт, что оно делится на 24 (пример - 36).

Только что названный признак можно обобщить так: если число n делится на m и делится на k, то n делится на наименьшее общее кратное m и k. Например, если число делится на 4 и на 6, то оно делится на 12.

Пусть p = kq, где k > 1 - натуральное число. Если n делится на p, то n делится на q, а если n не делится на q, то n не делится и на p. Яркий пример: нечётное число не делится на 4, поскольку оно не делится на 2, в итоге тут можно даже не использовать правило последней пары цифр, названное выше (в случае чётного числа для проверки делимости на 4 придётся применять то правило).

copyright © Исканцев Н.В., 2012

К математическому разделу
На главную
X