Каталог@Mail.ru - каталог ресурсов интернет HitMeter - счетчик посетителей сайта, бесплатная статистика

Метод от противного, или Об одной интересной формуле мат. логики)

На главную Математический раздел Криптография и т.д. Новости

В математической логике есть такая формула, которую часто обходят вниманием на фоне законов де Моргана и ряда других вещей:

С виду она кажется заурядным логическим тождеством, коих много. Реально же она часто применяется при доказательстве разных утверждений (теорем и т.д.). По сути исходное утверждение полагают неверным и ищут противоречие. Раз оно нашлось, значит, исходное утверждение верно. Это часто называется методом от противного.

Полушутливый-полусерьёзный пример) Допустим, врач убеждает пациента, что тот не подхватил грипп. Он рассуждает: "Допустим, грипп всё-таки подхвачен. Но тогда должны быть повышенная температура и прочие сопутствующие. Их нет. Противоречие. Стало быть, и гриппа нет"

Теперь пример посерьёзнее. Докажем, что корень квадратный из двух - иррациональное число, то есть его нельзя представить в виде несократимой дроби p/q, где p и q - целые числа (в нашем случае даже натуральные числа).

Предположим, что мы его всё-таки можем так представить (то есть используем метод от противного):

p и q не могут быть оба чётными, иначе дробь p/q можно было бы сократить. p не может быть нечётным, так как его квадрат должен быть чётным. Стало быть, p чётное. Теперь дальше. Так как p чётное, то q нечётное (см. начало абзаца). Квадрат числа q - тоже нечётный. Стало быть, 2 * q * q - число, которое не может делиться на 4. При этом p - чётное число, то есть p * p делится на 4. Противоречие. Стало быть, корень из двух - иррациональное число.

Но это ещё не самое интересное. Самое - это то, как незнание описываемого закона логики гадит нам в бытовых рассуждениях. Очень часто вместо правильной формулы (наверху страницы в рамочке) народ применяет при рассуждениях вот какую ахинею:

Не в том смысле, что явно использует это как формулу логики, а в том, что фактически рассуждения базируются на этой формуле. Примерчик, чтобы было ясно. Допустим, "если мы поедем в кино с должным запасом времени (вовремя), значит, мы не опоздаем". Ну вроде как здраво (за исключением возможности полуфантастических случаев, когда наш транспорт подорвётся на фугасе по дороге в совершенно мирном городе). Распространённая ошибка - когда в этом случае словно чешется заключить "если мы поедем в кино не вовремя, то мы опоздаем". Ну вроде как да, раз нам не хватает времени на дорогу, то мы же не успеем) Но давайте пока что без всякой математики подумаем. Итак, нам не хватает времени на дорогу (мы поехали не вовремя), но по каким-то причинам показ отменили или отсрочили (ну скажем, технические проблемы). Итак, мы поехали не вовремя, но не опоздали.

C = поехали не вовремя, D = опоздали. Мы не успевали по времени, но показ отменили, то есть C = 1, D = 0, тогда C => D = 0. Вспоминайте основы логики: "стрелка в одну сторону" ложна, когда слева истина и в то же время справа ложь, в остальных случаях она истинна:

СDC=>D
001
011
100
111


Теперь разберёмся с "ахинейной" формулой. В нашем случае A = выехали вовремя, B = не опоздали в кино. Как уже было сказано, показ могут из-за чего-то отменить. Ежели мы выехали не вовремя, A = 0, но из-за отмены показа B = 1. Слева от знака равенства а "ахинейной" формуле получаем (0 => 1 = 1). Справа: (1 => 0 = 0). С каких это пор 0 и 1 стали равными товарищами? Теперь это же (A = 0, B = 1) подставим в верную формулу в красной рамочке. Слева: (0 => 1 = 1), справа: (не 1 => не 0 = (0 => 1) = 1). Вот теперь всё сходится)

Правильным умозаключением было бы, как уже можно догадаться, "если мы не опоздали, значит, мы выехали вовремя (с должным запасом времени).

Ну и ещё один примерчик, может даже, проще предыдущего. Допустим, "если мы не приступим к реформам, страна не выйдет из кризиса". Ложное заключение: "если мы приступим к реформам, страна выйдет из кризиса". И в самом деле, если мы начнём реформирование, то ещё не факт: реформы могут быть и ошибочными и даже загнать страну ещё глубже в этот самый кризис) Правильный ход: "если страна выходит из кризиса, значит, мы приступили к реформированию". И это неудивительно, поскольку сам по себе кризис никуда не уйдёт (ну если только это реальный кризис, а не сказки в СМИ этой самой страны).

Вывод: думайте, что вы думаете)

copyright © Исканцев Н.В., 2012

К математическому разделу
На главную
X